Решение матрицы по методу Гауса

[tig81]

Конкретная матрица

2  2  3/15
1  -1  0/-1
-1  2  1/6

Начинаем с того, что делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Проще всего будет работать, если элемент  матрицы а11 будет равен единице. 1 в первом столбце есть у нас во второй строке, поэтому первую и вторую строки меняем местами. Какая матрица после этого получится?

[tig81]

Тогда я ничего не понимаю.
Ступенчатая- та, которая уже дальше не решается?

Хм... я не знаю, какая матрица решаемая, поэтому мне сложно ответить на этот ваш вопрос.
Ступенчатая - это матрица, у которой первый ненулевой элемент в последующей строке стоит в столбце с большим номером, чем в предыдущей строке.

Т.е. если во второй строке первый не нулевой элемент стоит в третьем столбце, то в третьей строке первый ненулевой элемент должен стоят не ранее, чем в четвертой.

[Зося]

Получается

1  -1  0/-1
2   2   3 /15
-1  2   1/6

[tig81]

Получается
1  -1  0/-1
2   2   3 /15
-1  2   1/6

Теперь выделенные жирным элементы надо обнулить, но работать можно со строками.
Во второй строке в первом столбце стоит 2, а в первой строке на соответствующем месте 1. Сколько первых строк надо отнять от второй, чтобы вместо 2 получить 0?

[Зося]

Теперь выделенные жирным элементы надо обнулить, но работать можно со строками.
Во второй строке в первом столбце стоит 2, а в первой строке на соответствующем месте 1. Сколько первых строк надо отнять от второй, чтобы вместо 2 получить 0?

В  матрице
1  -1  0/-1
2   2   3 /15
-1  2   1/6

1. первую строку умножаем на 2
2. из первой строки вычитаем вторую строку
3.при новой записи первая строка не меняется (так ли это?)

получается

1   -1   0/1
0    -4   -3/-17
-1   2   1/6

[tig81]

1. первую строку умножаем на 2

да

2. из первой строки вычитаем вторую строку

Наоборот, из второй вычитаем первую, т.к. нам надо изменить именно вторую

3.при новой записи первая строка не меняется (так ли это?)

Да, меняется та строка, из которой мы отнимаем/ к которой мы прибавляем.

[влад2]

Если тебе нужен наглядный пример как решать матрицу методом Гаусса, то посмотри пример:

Найти решение системы уравнений методом Гаусса.
Сначало введем матрицу:
1  -1  -1    0
5  -1   4    3
1    2  3     5
Затем из 2-ого столбца вычтитам 1-й столбец прежде умножив его на 5,  также из 3-ого столбца вычитаем 1-й столбец и получаем:
1  -1  -1    0
0    4   9    3
0    3   4    5
Затем 3-ю строку умножаем на 4  и получаем:
1  -1  -1    0
0    4   9    3
0   12  16   20
Затем из третьего столбца вычитаем второй ппредварительно этот столбец умножив его на 3  и получаем:
1  -1   -1    0
0    4    9    3
0    0  -11  11
Теперь будим решать методом Гаусса полученную матрицу:
1  -1   -1    0
0    4    9    3
0    0  -11  11
Третью строку поделить на -11  и получим:
1  -1   -1    0
0    4    9    3
0    0    1   -1
Теперь сначало из второй строки вычитам третью предварительно ее умножив на 9,  а также к первой строки прибавим третью.
1  -1    0   -1
0    4    0   12
0    0    1   -1
Теперь вторую строку делим на 4  и получаем:
1  -1   -1   -1
0    1    0    3
0    0    1   -1
К первой строке прибавим вторую:
1    0    0    2
0    1    0    3
0    0    1   -1
Следовательно, x1=1,  x2=3,  x3=-1

[Зося]

1  -1  0/-1
2   2   3 /15
-1  2   1/6

Из второй вычитаю первую, получается

1   -1   0/-1
1    3   3/16
-1   2   1/6

[Зося]

Влад2

мне нужен не наглядный пример (таких примеров у меня целая тетрадь лекций), а объяснение, как именно это делается

[tig81]

1  -1  0/-1
2   2   3 /15
-1  2   1/6

Из второй вычитаю первую, получается

Мы же вроде решили, что две первые отнимаете?! Ну да ладно

1   -1   0/-1
1    3   3/16
-1   2   1/6

Теперь делаем из "красной" 1 нолик. Какое действие выполним? Если учесть, что у нас есть "зеленая" 1.

[Зося]

зеленую умножить на -1
сложить полученную зеленую и красную
зеленая в итоге не изменится?


1  -1   0/-1
1   3   3/16
-1   2   1/6

будет

1   -1   0/-1
0    4   3/17
-1   2   1/6

[Зося]

Мы же вроде решили, что две первые отнимаете?! Ну да ладно

Простите, но правда не понимаю, что Вы имеете в виду. 

[tig81]

1   -1   0/-1
0    4   3/17
-1   2   1/6

Так. Теперь смотрим далее, в первом столбце остались еще ненулевые элементы (выделены красным), как с помощью "зеленой" 1 там сделать 0?

Простите, но правда не понимаю, что Вы имеете в виду. 

Вы получается два раза от второй строки отняли первую. Можно было бы сразу от второй строки отнять две первых. Т.е. от каждого элемента второй строки отнять соответствующий элемент первой, умноженный на 2

[Зося]

1   -1   0/-1
0    4   3/17
-1   2   1/6

Нужно просто сложить первую и третью строки?

1   -1   0/-1
0   4    3/17
0   1    1/5

[tig81]

1   -1   0/-1
0    4   3/17
-1   2   1/6

Нужно просто сложить первую и третью строки?

Т.е. к третьей прибавить первую

1   -1   0/-1
0   4    3/17
0   1    1/5

Теперь нам надо обнулить элементы, стоящие во втором столбце под главной диагональю,  т.е.
1   -1   0/ -1
0   4    3/  17
0   1    1/  5
Но нам будет проще все это делать, если вместо "зеленой" 4 будет 1. Как это можно сделать? Обратите внимание на "красный" элемент.