Помогите решить ДУ

[влад2]

Решить ДУ используя методы понижения порядка:
xyy''+xy'^2=2yy'
xyy''+xy'^2-2yy'=0
y'=yz
y''=y(z^2+z')
xy^2(z^2+z')+xy^2z^2-2y^2z=0
x(z^2+z')xz^2-2z=0
xz^2+xz'+xz^2-2z=0
2xz^2+xz'-2z=0
z'+(2z^2/x)-(2z/x)=0
z'=2/x(z^2-z)
dz/dx=(2(z^2-z)/x)
dz/(z^2-z)=2dx/x
Интегрируем и получаем:
ln(z^2-z)=2lnx
z^2-z=x^2
z=(y'/y)
(y'/y)^2-(y'/y)=x^2

Что дальше делать не знаю, помогите.

[renuar911]

Где-то Вы наврали, поскольку разделяются переменные:

\( \frac {y''}{y'} +\frac{y'}{y}=\frac{2}{x} \)

далее делается Ваша замена и ответ получается очень простой:

\( y=C_2 \sqrt{3C_1+2 x^3} \)

[влад2]

Где я мог ошибиться и ответ получается y^2=C1x^3+C2

[renuar911]

У Вас не мог получиться такой ответ, поскольку для  (y'/y)^2-(y'/y)=x^2  имеем решение:

[Casper]

...
2xz^2+xz'-2z=0
z'+(2z^2/x)-(2z/x)=0
...

как из первого второе получилось?
и потом, почему \( \int\frac{dz}{z^2-z}=\ln (z^2-z) \)?

\( \left(\ln (z^2-z)\right)^\prime\ne \frac{1}{z^2-z}! \)

[влад2]

Между прочим уравнение такое
........
(2xz^2)+xz'-2z=0        поделим все на x, получим
z'+((2z^2)/x)-((2y)/x)=0
Все что без штриха переносим в право и получаем.
z'=2/x*(z-z^2)
dz/dx=(2*(z-z^2))/x   Все что с z ставим так dz/(z-z^2) , а с x так 2dx/x      и получаем:
dz/(z-z^2)=2dx/x
Интегрируем и получаем :
ln(z-z^2)=2lnx
z-z^2=x^2*C1
z=(C1*x^2)+z^2
Далее делаем замену  z=(y'/y)    и получаем
y'/y=(C1*x^2)+(y'/y)^2    а что дальше делать незнаю  помогите!!

[renuar911]

Я Вам четко показал что нужно делать. В уравнении, что я упростил, сделать Вашу замену и быстро найдете правильный ответ (который я также привел).

[Casper]

Между прочим уравнение такое
........
(2xz^2)+xz'-2z=0        поделим все на x, получим
z'+((2z^2)/x)-((2y)/x)=0

\( 2 x z^2+xz^{\prime}-2z=0 \)
\( 2 z^2+z^{\prime}-\frac{2z}{x}=0 \)
Прочувствуй разницу между тем, что у тебя записано и что у меня.

[влад2]

Вы правы, я ошибся.
Далее решение такое
z'=(2z/x)-2z^2
z'=2z(1-xz)/x
dz/dx=2z(1-xz)/x
А что дальше делать не знаю помогите.