Уравнения чётвертой степени

[holloloh]

Возник такой вопрос:
Существует метод представления уравнения четвертой степени как произведения двух квадратных уравнений БЕЗ нахождения его корней?
Заранее благодарен.

[holloloh]

Думаю стоит изложить изначальную задачу
 Требуется вычислить вот такой интеграл
 x²-1/(x⁴+3x³+5x²+3x +1) dx
если мне удастся разложить знаменатель,  я дорешаю

[Dimka1]

интеграл взят из учебника? Или это задача очередного "чёкнутого" профессора?

[renuar911]

Интеграл настолько сложный, что если Вы не Ландау, то лучше не браться.

[holloloh]

Интеграл по методу решения не сложный, единственная трудность, это разложение на квадратные трёхчлены.
Регулярного метода разложения значит нет?
PS
Интеграл видимо не из учебника

[renuar911]

На квадратные трехчлены я разложил. Формулы довольно внушительные. Никак не могу рисунок сюда загрузить - у меня сбой происходит. Если очень и позарез нужно, напишу формулы.

Решал методом неопределенных коэффициентов.

\( x^4+3x^3+5x^2+3x+1=(x^2+ax^2+b)(x^2+cx+d) \)

Пришел к системе:

a+c=3
ac+b+d=5
ad+bc=3
bd=1

Решений этой системы несколько.  Вот одно из них.

\( a=1.5+0.5\sqrt{2\sqrt{13}-5} \)

\( c=1.5-0.5\sqrt{2\sqrt{13}-5} \)

\( b=\frac{8}{3}\sqrt{2\sqrt{13}-5}-\frac{c^3}{3}+2c^2-2 \)

\( d=2.5-\frac{7}{6}\sqrt{2\sqrt{13}-5}+\frac{c^3}{3}-c^2 \)

Вот, сумел загрузить рисунок. Тут более подробно и явно выражены коэффициенты:



Очень интересно увидеть  какой у Вас получится интеграл.

[holloloh]

Спасибо.
Я в итоге решил через замену t = x + 1/x;
dt= (1-1/x²)dx
в итоге получилось уравнение
dt/(t+3/2)²+3/4) а это уже табличный интеграл
PS
Вы систему решали руками или при помощи программных средств?
Просто я пробовал её решить и как то системы нелинейных уравнений плохо решаются...

[renuar911]

Решил руками и проверил в Maple
Наверное, должно получиться следующее:

\( \int \frac{x^2-1}{x^4+3x^3+5x^2+3x+1}\, dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\bigg{[}arctg \frac{2x+3}{\sqrt{3}}-arctg \bigg{(}\sqrt{3}+\frac {8x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}x^2+\frac{2x^3}{\sqrt{3}}\bigg{)} \bigg{]} + C \)

Желательно этот ответ проверить дифференцированием.

Нашел время, набил в Мапл, взял дифференциал, упростил - все верно.