Решить уравнение

[renuar911]

Ну, если Вы хотите полноту, то преподаватель неправ - есть только три бесконечные цепочки решений:

\( z_{1}= \frac{\pi n}{2}- \frac{\pi}{4}  \)

\( z_{2,3}=\pi n +arctg \bigg{(} \frac{1}{3}\pm \frac{2i\sqrt{2}}{3} \bigg{)} \)

Для последних двух корней есть другое представление (я их получил из \( \sin{2z}=3 ) \):

\( z_2=\pi n+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}arcsin(3) \)

\( z_3=\pi n + \frac{1}{2}arcsin(3) \)

Из первой цепочки решений вытекает частность:  \( z=\pm \frac{\pi}{4} \). Возможно, препод имел это в виду.

Если в численном виде, то:

\( z_{2,3}\approx \pi n +0.7854 \pm 0.8814 \, i \)

[tig81]

А как преподаватель показал?

[DeadChild]

\( 6ie^{i2z}+6ie^{-i2z}-e^{4iz}+e^{-4iz}=0 \) \( |:e^{i4z} \)
\( 6ie^{i6z}+6ie^{i2z}-e^{i8z}+1=0 \)
\( e^{i2z}=t \)
Получается система:
\( t^2+1=0 \)
\( t^2-6it-1=0 \)

[renuar911]

Да, кажется преподаватель с комплексами. Последние две строки - это не система, а два самостоятельных решения. Первая строка дает два действительных корня, вторая - два мнимых корня. Ответы верные, но получать их ничуть не проще, чем из обычной тригонометрии. Если первая строка \( t^2+1=0 \)  даст \( z_{1,2}=\pm \frac{\pi}{4} \) , то вторая строка даст два решения через натуральные логарифмы. Попробуйте выразить - мне на это интересно будет посмотреть. Навскидку, это должно быть типа \( z_{3,4}=-\frac{i}{2}ln(3i \pm 2\sqrt{2}\, i) \)
Но лучше проверить.