Решить уравнение

[DeadChild]

\( 6cos(2z)-sin(4z)=0 \)
\( cosz \) и \( sinz \) можно записать в виде:
\( cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \)
\( sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \)
Подставила в уравнение:
\( 6\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}-\frac{e^{4iz}-e^{-4iz}}{2i}=0 \)
А дальше что делать? Или я вообще не правильно начала?

[tig81]

\( e^{-t}=\frac{1}{e^t} \)
Перепишите все через экспоненты с положительной степенью.

[DeadChild]

\( 3(e^{2iz}+\frac{1}{e^{2iz}})-\frac{e^{4iz}-\frac{1}{e^{4iz}}}{2i}=0 \)

[tig81]

Сводите к общему знаменателю

[DeadChild]

\( \frac{6i(e^{2iz}+\frac{1}{e^{2iz}})-(e^{4iz}-\frac{1}{4iz})}{2i}=0 \)
так?
\( \frac{6ie^{6iz}+6ie^{4iz}-e^{8iz}-1}{2ie4iz}=0 \)
или так?

[tig81]

\( 3(e^{2iz}+\frac{1}{e^{2iz}})-\frac{e^{4iz}-\frac{1}{e^{4iz}}}{2i}=0 \)

А сделайе, наверное, сразу замену \( e^{2iz}=t \), а затем упрощайте

[DeadChild]

А \( e^{4iz}=t^2 \) ?

[DeadChild]

\( 3(\frac{t^2+1}{t})-\frac{1}{2i}\frac{t^4-1}{t^2}=0 \)
вот так получается

[tig81]

А \( e^{4iz}=t^2 \) ?

Да

\( 3(\frac{t^2+1}{t})-\frac{1}{2i}\frac{t^4-1}{t^2}=0 \)
вот так получается

Ну, наверное. Упрощайте.

[DeadChild]

\( \frac{3(t^2+1)}{t}=\frac{1}{2i}\frac{t^4-1}{t^2} \)
\( \frac{3(t^2+1)}{t}\frac{t^2}{t^4-1}=\frac{1}{2i} \)
\( \frac{3(t^2+1)}{1}\frac{t}{(t^2-1)(t^2+1)}=\frac{1}{2i} \)
\( \frac{3t}{t^2-1}=\frac{1}{2i} \)

[tig81]

переносите все в одну сторону, сводите к общему знаменателю, решайте полученное квадратное уравнение.

[renuar911]

Так сложно не решают. Лучше так:

\( 6 \cos{2z}-2 \sin{2z} \cos{2z}=0 \)

\( 2 \cos{2z}(3-\sin{2z})=0 \)

Выражение в скобках действительных корней не имеет, так как \(  \sin{2z} \) не может быть равным 3.
Поэтому решение: \( \cos{2z}=0 \)

Откуда \( z=\frac{\pi n}{2}-\frac{\pi}{4} \)

[DeadChild]

Да ладно? Мне преподаватель вообще по-другому показал.

[renuar911]

Как бы преподаватель ни показывал, ответ должен получиться таким, как я получил. График это наглядно доказывает. Я вообще всегда начинаю с графика и ошибки абсолютно исключены.

[DeadChild]

Там 4 ответа должно получится.