Решить уравнение

[DeadChild]

$6cos(2z)-sin(4z)=0$
$cosz$ и $sinz$ можно записать в виде:
$cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
$sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
Подставила в уравнение:
$6\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}-\frac{e^{4iz}-e^{-4iz}}{2i}=0$
А дальше что делать? Или я вообще не правильно начала?

[tig81]

$e^{-t}=\frac{1}{e^t}$
Перепишите все через экспоненты с положительной степенью.

[DeadChild]

$3(e^{2iz}+\frac{1}{e^{2iz}})-\frac{e^{4iz}-\frac{1}{e^{4iz}}}{2i}=0$

[tig81]

Сводите к общему знаменателю

[DeadChild]

$\frac{6i(e^{2iz}+\frac{1}{e^{2iz}})-(e^{4iz}-\frac{1}{4iz})}{2i}=0$
так?
$\frac{6ie^{6iz}+6ie^{4iz}-e^{8iz}-1}{2ie4iz}=0$
или так?

[tig81]

$3(e^{2iz}+\frac{1}{e^{2iz}})-\frac{e^{4iz}-\frac{1}{e^{4iz}}}{2i}=0$

А сделайе, наверное, сразу замену $e^{2iz}=t$, а затем упрощайте

[DeadChild]

А $e^{4iz}=t^2$ ?

[DeadChild]

$3(\frac{t^2+1}{t})-\frac{1}{2i}\frac{t^4-1}{t^2}=0$
вот так получается

[tig81]

А $e^{4iz}=t^2$ ?

Да

$3(\frac{t^2+1}{t})-\frac{1}{2i}\frac{t^4-1}{t^2}=0$
вот так получается

Ну, наверное. Упрощайте.

[DeadChild]

$\frac{3(t^2+1)}{t}=\frac{1}{2i}\frac{t^4-1}{t^2}$
$\frac{3(t^2+1)}{t}\frac{t^2}{t^4-1}=\frac{1}{2i}$
$\frac{3(t^2+1)}{1}\frac{t}{(t^2-1)(t^2+1)}=\frac{1}{2i}$
$\frac{3t}{t^2-1}=\frac{1}{2i}$

[tig81]

переносите все в одну сторону, сводите к общему знаменателю, решайте полученное квадратное уравнение.

[renuar911]

Так сложно не решают. Лучше так:

$6 \cos{2z}-2 \sin{2z} \cos{2z}=0$

$2 \cos{2z}(3-\sin{2z})=0$

Выражение в скобках действительных корней не имеет, так как $\sin{2z}$ не может быть равным 3.
Поэтому решение: $\cos{2z}=0$

Откуда $z=\frac{\pi n}{2}-\frac{\pi}{4}$

[DeadChild]

Да ладно? Мне преподаватель вообще по-другому показал.

[renuar911]

Как бы преподаватель ни показывал, ответ должен получиться таким, как я получил. График это наглядно доказывает. Я вообще всегда начинаю с графика и ошибки абсолютно исключены.

[DeadChild]

Там 4 ответа должно получится.