Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Математика => Тема начата: naumzev от 10 Апреля 2011, 16:19:04

Название: несобственный интеграл
Отправлено: naumzev от 10 Апреля 2011, 16:19:04

помогите исследовать сходимость интеграла 1-ого рода

Название: Re: несобственный интеграл
Отправлено: ELEK1984 от 10 Апреля 2011, 16:29:50

Используйте признак сравнения \( \frac{1}{x^2+\sqrt{x}+1} \leq \frac{1}{x^2} \)
И разбейте ваш интеграл на сумму двух. И должно все получиться!

Название: Re: несобственный интеграл
Отправлено: naumzev от 10 Апреля 2011, 17:13:44

а как быть с тем что 1/x^2 не существует в точке x=0 ?

Название: Re: несобственный интеграл
Отправлено: ELEK1984 от 10 Апреля 2011, 17:32:18

разбиваем интеграл
\( \int_0^1 \frac{dx}{x^2+\sqrt{x}+1}+\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2+\sqrt{x}+1} \)
Первый интеграл: \( \frac{1}{x^2+\sqrt{x}+1} \sim \frac{1}{x^2+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(x\sqrt{x}+1)} \sim \frac{1}{\sqrt{x}} \)
Интеграл \( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x} \) --- сходится,
 а со вторым тоже самое, но сравнивать его надо с дробью \( \frac{1}{x^2} \), тоже сходится)
Значит исходный интеграл сходится.

Вот хорошая ссылочка http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/unprint/UnProInt.htm

Название: Re: несобственный интеграл
Отправлено: renuar911 от 10 Апреля 2011, 17:46:09

Если взглянуть на график подинтегрального выражения:

(http://s013.radikal.ru/i323/1104/c5/2f3d1742cc7b.gif)

то ясно, что площадь конечная. Предел функции при x=0 равен 1, при бесконечности же - ноль... Значит, прикинув площадь фигуры (например, разбив на два треугольничка), без большой ошибки получим

\( S \approx \frac{3\cdot 0.6}{2}+\frac{7 \cdot 0.08}{2} \approx 1.2 \)