Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Теория вероятностей => Тема начата: VasilDA от 13 Мая 2012, 21:51:17

Название: Закон больших чисел
Отправлено: VasilDA от 13 Мая 2012, 21:51:17

Помогите, пожалуйста, разобраться с решением задачи.

Случайная величина XN принимает значения exp (N*ln(0,9)) и exp(N*ln(1,1)) с одинаковыми вероятностями. Можно ли к данной последовательности применить закон больших чисел?

Название: Re: Закон больших чисел.
Отправлено: VasilDA от 13 Мая 2012, 22:12:10

Насколько я понимаю, здесь надо проверить, применима ли теорема Чебышева.  Т. е. выполняются ли условия : попарно независимых величин, конечности математического ожидания и равномерно ограниченной дисперсии?

Название: Re: Закон больших чисел.
Отправлено: VasilDA от 13 Мая 2012, 22:27:07

Получается..
Случайные величины попарно независимы.
M(X_n)= exp(N*ln(0,9)*1/2 + exp(N*ln(1,1)*1/2 = -0.1432*n+0,12954*n = -0,01366*n => случайная величина не имеет конечного мат. ожидания.
Закон больших числе не выполняется.

Название: Re: Закон больших чисел.
Отправлено: Dev от 14 Мая 2012, 02:35:21

Театр абсурда, Вы уж извините.
1) Математическое ожидание не такое. Как это Вы \( (0,9)^n \) превратили в \( -0,2864 n \)?
2) При каком \( n\in\mathbb N \) математическое ожидание бесконечно? При \( n=7 \)? При \( n=119 \)? При \( n=7004 \)? При \( n=1000056 \)?
3) Последний вывод особенно силён: "если селёдка, значит рыба; поэтому, раз не селёдка, то не рыба". Карась молча уходит.
Теорема Чебышёва (как и любая иная) даёт достаточные, но не необходимые условия для выполнения ЗБЧ! Из невыполнения её условий не может следовать невыполнение ЗБЧ.

Боюсь, правда, что составитель задачи именно проверку условий этой теоремы (которую всё же следует сделать правильно, выписав сначала точно все условия) и имел в виду. Боюсь, что иные методы проверки тут будут слишком сложны.

Название: Re: Закон больших чисел.
Отправлено: VasilDA от 14 Мая 2012, 17:35:32

Пересчитала, получилось вот так:
1.Случайные величины попарно независимы, первое требование теоремы выполняется.
2. M(X_n)=1/2 (0,9ⁿ+1.1ⁿ) Математическое ожидание конечно, второе требование теоремы выполняется.
3.D(X_n)=M(X²_n)-[M(X_n)]²=1/2*(0,9²ⁿ+1,1²ⁿ)-(1/4(0,9²ⁿ+2*0,9ⁿ*1,1ⁿ+1,1²ⁿ))=1/4*0,9²ⁿ-1/2*0,9ⁿ*1,1ⁿ+1/4*1,1²ⁿ
Получается, дисперсия равномерно неограниченна.третье требование теоремы не выполняется.
Теорема Чебышева неприменима к данной последовательности.
Теперь ничего не напутала?

Название: Re: Закон больших чисел.
Отправлено: Dev от 14 Мая 2012, 22:10:15

Нет, теперь всё верно. Если вывода "теорема Чебышёва неприменима" достаточно, то на нём следует и остановиться.

Название: Re: Закон больших чисел.
Отправлено: VasilDA от 14 Мая 2012, 22:12:34

Спасибо) Да, скорее всего этого вывода достаточно)